Divatba jött a Texas Hold’em póker és egyre többször hangzik el a kérdés: átlagosan hány leosztásonként várható, hogy valamelyik játékosnak Royal Flush lapja legyen (definíció: bármelyik színből „nála” legyen az A, K, Q, J és 10 lap). Először rögzítsük azokat a szükséges peremfeltételeket, amelyek a valódi gyakorlatban ugyan nem mindig teljesülnek, de nélkülük a számítás nagyon bonyolulttá (vagy elvégezhetetlenné) válna.
- Fel kell tételezni, hogy minden leosztásban asztalra kerül a flop (első három), a turn (a negyedik) és a river (az ötödik közös lap) is.
- Nem bizonyítjuk, de belátható, hogy az esély nem függ a játszók számától. Szigorúan véve ez mindaddig így van, amíg az osztó kezében a minden játékosnak kiosztott két-két lap után marad még legalább nyolc (a fenti flop, turn és river mellett még három „égető”) lap; ez elméletileg akár 22 játékost is jelenthetne.
- Nem vizsgáljuk a „split pot” (megosztott kassza) esetét, amikor a Royal Flush összes lapja az asztalon alakul ki.
Belátható, hogy egy játékosnak kétféle módon lehet Royal Flush lapja:
A. A kezében levő 1 lappal és az asztalon fekvő 4 lappal, vagy
B. A kezében levő 2 lappal és az asztalon fekvő 3 lappal
A levezetés most következő része az A. esetre vonatkozik: a játékos kezében 1 alkalmas lap van.
A1. Ahhoz, hogy Royal Flush alakulhasson ki, a kártyacsomag 52 lapja közül első lapként a négy színből (4) az A, K, Q, J, 10 figurák bármelyike (5) alkalmas, vagyis annak az esélye, hogy az egyik megkapott lap alapján meglehet a Royal Flush, egyenlő (4*5)/52 = 20/52 vagy egyszerűsítve 5/13.
A2. Ahhoz, hogy ennél a változatnál maradjunk, az is szükséges, hogy a megmaradt 51 lap közül ne olyan legyen a másik kézbe kapott lap, amely beleillik a Royal Flush sorba (ha például egyik lapként káró Q jött, akkor a másik lap bármi lehet, kivéve káró A, K, J vagy 10). Ez a feltétel az 51 lap közül 47 esetén teljesül, vagyis ez a részesély 47/51.
A3. Most elkezdjük kirakni az asztalra kerülő lapokat. A most már csak 50 lapos kártyacsomagban az első „jó” lap esélye 1/50, és mivel ez a lap az 5 pozíció bármelyikére kerülhet, a részesély tehát 5*(1/50). Az ezután megmaradó 49 lapos csomagban a második „jó” lap esélye 1/49, és mivel ez a lap a fennmaradó 4 pozíció bármelyikére kerülhet, a részesélye 4*(1/49). Hasonlóan kapjuk a még szükséges két „jó” lap részesélyét: 3*(1/48) és 2*(1/47). Ha ebből kiszámoljuk ennek a változatnak az esélyét, akkor az 120*(1/50)*(1/49)*(1/48)*(1/47).
A4. Vizsgáljunk meg egy másik lehetőséget: az A2 példát folytatva megtörténhet, hogy a káró Q mellett a játékos másik lapként mondjuk pikk J-t kap a kezébe, vagyis kettős esélye van Royal Flush elérésére. Itt arról van tehát szó, hogy a megmaradt 51 lap közül a másik három színből (3) az A, K, Q, J vagy 10 figurák bármelyike (5) jöjjön, ez a részesély tehát (3*5)/51 = 15/51, vagy egyszerűsítve 5/17.
A5. Most elkezdjük kirakni az asztalra kerülő lapokat. A most már csak 50 lapos kártyacsomagban az első „jó” lap esélye 2/50, ami azt fejezi ki, hogy (az A4 pontban említett példát alapul véve) mondjuk mind a káró A, mind a pikk A megfelelhet a Royal Flush sornak, és mivel ez a lap az 5 pozíció bármelyikére kerülhet, a részesély tehát 5*(2/50). Az ezután megmaradó 49 lapos csomagban a második „jó” lap esélye még mindig 2/49 (a példa alapján mondjuk mind a káró K, mind a pikk K megfelelhet a Royal Flush sornak), és mivel ez a lap a fennmaradó 4 pozíció bármelyikére kerülhet, a részesélye 4*(2/49). Ezt követően viszont már csak egyféle Royal Flush alakulhat ki, innen tehát a részesélyek az A3 ponthoz hasonlóan 3*(1/48) és 2*(1/47). ). Ha ebből kiszámoljuk ennek a változatnak az esélyét, akkor az 120*(2/50)*(2/49)*(1/48)*(1/47).
A6. Összefoglalva a „négy lap kell az asztalról” esetet, vagy az A1 – A2 – A3, vagy az A1 – A4 – A5 eseménysornak kell bekövetkeznie. Számoljuk ki először az A1 – A2 – A3 eseménysor esélyét, ehhez össze kell szorozni a megfelelő pontokban említett részesélyeket:
A(1-2-3) = (5/13)*(47/51)*120*(1/50)*(1/49)*(1/48)*(1/47) = kb. 7,7*10-6.
Számoljuk ki most az A1 – A4 – A5 eseménysor esélyét, a fentivel analóg módon:
A(1-4-5) = (5/13)*(5/17)*120*(2/50)*(2/49)*(1/48)*(1/47) = kb. 9,8*10-6.
A VAGY művelet miatt az esélyek összeadódnak: A(1) = A(1-2-3) + A(1-4-5) = kb. 18,5*10-6.
A levezetés második része a B. esetre vonatkozik: a játékos kezében 2 alkalmas lap van.
B1. Ahhoz, hogy Royal Flush alakulhasson ki, a kártyacsomag 52 lapja közül első lapként a négy színből (4) az A, K, Q, J, 10 figurák bármelyike (5) alkalmas, vagyis annak az esélye, hogy az egyik megkapott lap alapján meglehet a Royal Flush, egyenlő (4*5)/52 = 20/52 vagy egyszerűsítve 5/13.
B2. Ahhoz, hogy ennél a változatnál maradjunk, az is szükséges, hogy a megmaradt 51 lap közül a másik kézbe kapott lap is illeszkedjék a Royal Flush sorba (ha például egyik lapként káró Q jött, akkor a másik lap káró A, K, J vagy 10 lehet). Ez a feltétel az 51 lap közül 4 esetén teljesül, vagyis ez a részesély 4/51.
B3. Most elkezdjük kirakni az asztalra kerülő lapokat. A fenti A3 ponthoz hasonlóan, az egyes „jó” lapok részesélyei rendre 5*(1/50), 4*(1/49) és 3*(1/48). Ez az összesített részesély tehát 60* (1/50)*(1/49)*(1/48).
B4. Összefoglalva a „három lap kell az asztalról” esetet, számoljuk ki a B1 – B2 – B3 eseménysor esélyét, ehhez össze kell szorozni a megfelelő pontokban említett részesélyeket.
B(1-2-3) = (5/13)*(4/51)*60*(1/50)*(1/49)*(1/48) = kb. 15,4*10-6.
A kétféle eset (egy, ill. két „jó” lap a kézben) esélyei a VAGY művelet miatt összeadódnak, vagyis ha a fenti számítás helyes, akkor a Royal Flush esélye A + B = kb. 33,9*10-6.
Más szóval, ha minden leosztásban mindig asztalra kerül mind az öt közös lap, akkor ahhoz, hogy egy játékosnak Royal Flush lapja legyen, átlagosan a fenti érték reciproka, vagyis kb. 29498,5 leosztás szükséges.
Nem tudom, mások miért beszélnek kb. kétmillió leosztásról…
